二 次 式 の 因数 分解
この記事では,因数分解はすべて 有理数 の範囲で考えます. ⇨予備知識 ・ $2$ 次方程式の因数分解のやり方 複2次式とは 次数がすべて偶数であるような多項式を 複2次式 といいます. 複2次式の例 ・$x^4+1$ ・$3x^4-2x^2+4$ ・$x^6+3x^2+2$ ・$x^2y^4+y^2+1$ この記事では,複2次式の因数分解の考え方を紹介します.$2$ 次の多項式の因数分解は,たすきがけや平方完成や解の公式などを用いればできます.$3$ 次以上の多項式の因数分解は, 因数定理 を使う方法がよく知られています.一般には上記の方法でうまくいかなければ,非常に難しい問題か,因数分解がそもそもできないかのどちらかです.しかし,多項式が 複2次式 であるという特別な場合には,上記以外の方法が使えることがあります. 当然,複2次式でも $x^4+1$ などのように因数分解が(有理数の範囲で)そもそもできないという場合はありえます.以下では,特に次数が $4$ 以下の複2次式で,因数分解できるものに関して,そのやり方を紹介します. たすき掛けができないって！因数分解に躓く生徒が知っておくべきその正体（夏期講座超初級2） | 勉強法のバイブル | 帝都大学へのビジョン. $1$ 変数の複2次式 複2次式の因数分解は大きく $2$ パターンに分けられます.ひとつは, 変数変換で $2$ 次式の因数分解に帰着する 方法で,もうひとつは, 新しい項を足して引くことで平方の差をつくる 方法です.基本的には,まず前者のやり方で試してみて,うまくいかなければ後者のやり方を試すとよいでしょう. 変数変換で解く場合 例題 次の式を因数分解せよ. $$x^4-6x^2+5$$ まず,$X=x^2$ と変数変換します.すると, $$x^4-6x^2+5=X^2-6X+5$$ となりますが,右辺は $X$ についての $2$ 次式で,これはたすきがけによって, $$X^2-6X+5=(X-1)(X-5)$$ と因数分解できます.これに $X=x^2$ を代入して $X$ の式をもとの $x$ の式にもどします. $$(X-1)(X-5)=(x^2-1)(x^2-5)$$ 最後に,$x^2-1$ は因数分解できるので, $$(x^2-1)(x^2-5)=(x+1)(x-1)(x^2-5)$$ となります.よって, $$x^4-6x^2+5=(x+1)(x-1)(x^2-5)$$ が答えとなります. (この記事では,因数分解は有理数の範囲で考えているので,$x^2-5=(x+\sqrt{5})(x-\sqrt{5})$ とはしません.)
Ｘ、Ｙの二次式の因数分解その２【数Ⅰ】 - Youtube
たすき掛けができないって！因数分解に躓く生徒が知っておくべきその正体（夏期講座超初級2） | 勉強法のバイブル | 帝都大学へのビジョン
この記事は最終更新日から1年以上が経過しています。内容が古くなっているのでご注意ください。 はじめに 二次方程式は「①解の公式②因数分解③√」による解き方で解きます。 本記事では「二次方程式とは何か」という説明から、3つの解き方の使い分けまでを解説します。 もし、上の3つの二次方程式の解き方を使い分けることができないのなら、ぜひこの記事を読んでみてください! どのように解き方を判別するのかが理解できます。 さらに、単純な二次方程式の問題だけではなく、二次方程式の利用、判別式、グラフを使った問題(センター試験)も解説しています。 私は因数分解や二次方程式を得意にすることで数学で点を取れるようになりました。高校からの数学では様々な分野を学習しますが、そのほとんどの分野で因数分解や二次方程式が出てきます。高校数学を学ぶ上でとても大切な分野である2次方程式、必ずマスターしてくださいね! 解の公式の解説の前に:二次方程式とは? まずは二次方程式がなんなのかを見てみましょう! 二次方程式とは? 二次方程式は「二次」の「方程式」です。 「方程式」とは、 などの式のことですね? 値の分からない文字(ここではxやt)が含まれている式のことです。 「二次」とは、式の中のxやtなどの値の分からない文字の右上の数字の最大値が2であることを示しています。 この数字は次数と呼ばれます。次数が2の方程式なので二次方程式と呼びます。 つまり二次方程式とは のような式のことです。 一般的にn次方程式にはn個の解(xやtに入る値)が存在するので、二次方程式の解の個数は2個です。 ※実数解の個数となると解の個数は0個・1個・2個のどれかになります。 二次方程式を解くために必要な3つの力 二次方程式を解くには ①ルート計算 ②因数分解 ③解の公式 の3つの力が必要になります。 ①ルート計算は 基礎中の基礎!平方根の計算や問題の解き方を完璧に理解しよう! ②因数分解は 因数分解とは?慶應生が教える、高校でも使える因数分解の公式と解き方 を参考にしてみてください! 解の公式はこの記事で詳しく解説します! 解の公式と二次方程式の解き方✏ ここから二次方程式の解き方を紹介していきます! ルート(√)による二次方程式の解き方 まずは最もシンプルな二次方程式の型から見ていきましょう。 と解きます。(中学で習う数学ではa>0) xを二乗するとaになることを上の二次方程式が表しているので上記の解き方で解けます。解に±が付くことを忘れないでください。負の数字も二乗すると正の数になるからです。 パターン① 【解答】 平方根の扱いに慣れていないと、最もシンプルな二次方程式も解くことができません。 パターン② 【解答・解説】 まずは の形に式変形します。パターン①の解き方で解けるようにするためです。 パターン③ 【解答・解説】 まずは の形に式変形します。パターン①の解き方で解けるようにするためです。 パターン④ 【解答・解説】 まずは の形に式変形します。ここでは、二乗の展開をせずにカッコを付けたまま計算したほうが楽になります。 ここまでは平方根の単元が大きく関わってきます。 因数分解による二次方程式の解き方 次に因数分解による二次方程式の解き方を解説します。 どうして因数分解することで二次方程式が解けるのかというと、 ここで因数分解が完成した2行目に注目すると、左辺がかけ算の形で書かれていて、右辺が0になっています。 つまり、(x+2)もしくは(x+4)が0であるということになるので、 と二次方程式が簡単に解けてしまうのです!
そう、\(x \times x = x^2\)になるので赤マルと青マルに入るのは\(x\)ですね! (x \qquad)&(x \qquad) 人によっては\(x^2 \times 1 = x^2\)でもなるのでは? (x^2 \qquad)&(1 \qquad) と疑問に思うでしょう。 それも正しいのですが上級編になるので、ここでは、 「赤マル、青マルの差をできるだけ無くす」 と覚えておきましょう! では次に同じ要領で( )の右側に入る文字、数字を考えましょう。 今度は、赤マルと青マルを掛け算して一番右側の数字になるようにします。 つまり、ここでは赤マルと青マルを掛け算した結果が\(+4\)になるように入れるということです。 掛け算して\(+4\)となるのは、以下の4つのパターンが考えられますね。 & 4 \times 1 \\ & 2 \times 2 \\ & -4 \times -1 \\ & -2 \times -2 この4つの組み合わせから選ばなくてはいけません。 どのようにして選べばよいでしょうか?