等差数列の公式まとめ（一般項・和の公式・証明）

タイプ: 教科書範囲レベル: ★ このページは数列の一番最初のページで,等差数列の一般項と和の基本概念を解説します. 等差数列の導入と一般項数列の中で,差が等しい数列のことを等差数列といいます.その等しい差を公差といい,英語でdifferenceというので,よく $d$ と表します.以下の図のようになります. $n$ 番目である $a_{n}$ がこの数列の一般項になります. $a_{n}$ を求めるには,上の赤い箇所をすべて足せばいいので,等差数列の一般項は以下になります. ポイント等差数列の一般項 (基本) $\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d$ しかし,$a_{n}$ を求めるために,わざわざ $a_{1}$ から足さねばならない理由はありません. 上の図のように,途中の $k$ $(1 \leqq k \leqq n)$ 番目から足し始めてもいいわけです.間は $n-k$ 個なので,一般項の公式を書き換えます. ポイント等差数列の一般項(途中からスタートOK) $\displaystyle \boldsymbol{a_{n}=a_{k}+(n-k)d}$ ここの $k$ には $n$ 以下の都合のいい自然数を代入できます. $k=1$ を代入したのが,$\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d$ になります.例えば $7$ 番目がわかっている場合は,$\displaystyle a_{n}=a_{7}+(n-7)d$ を使えば速いですね. 等差数列の和次に等差数列の和ですが,$d>0$ のときに和がどうなるかを図示してみます. 等差数列の一般項トライ. 高さが数列になっていて,横の長さが $1$ の長方形を最初から並べました. この総面積が等差数列の和になるはずです.これを求めるためには,同じものを上に足して2で割ればいいはずです. 長方形の面積 $(a_{1}+a_{n})n$ を出して $2$ で割ればいいので,等差数列の和の公式は以下になります( $d < 0$ のときも同じでしょう). 等差数列の和 $S_{n}$ $S_{n}=\dfrac{1}{2}(a_{1}+a_{n})n$ 管理人は, $\{$ (初めの数) $+$ (終わりの数) $\} \times$ (個数) $\div 2$ という中学受験の公式が強く印象に残っていて,公式はこれのみで対応しています.

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例題と練習問題例題 (1)等差数列 $\{a_{n}\}$ で第 $12$ 項が $77$,第 $25$ 項が $129$ のとき,この数列の一般項を求めよ. (2)等差数列の和 $S=1+3+5+\cdots+99$ を求めよ. (3)初項が $77$,公差が $-4$ の等差数列がある.この数列の和の最大値を求めよ. 等差数列の一般項と和 | おいしい数学. 講義上の公式を確認する問題を用意しました. (3)は数列の和の最大というテーマの問題で, 正の項を足し続けているときが和の最大になります. 解答 (1) $\displaystyle a_{25}-a_{12}=13d=52$ ←間は $13$ 個 $\displaystyle \therefore d=4$ $\displaystyle \therefore \ a_{n}=a_{12}+(n-12)d$ ←$k=12$ を代入 $\displaystyle =77+(n-12)4$ $\displaystyle =\boldsymbol{4n+29}$ ※ 当然 $k=25$ を代入した $a_{n}=a_{25}+(n-25)d$ を使ってもいいですね. (2) 初項から末項まで $98$ 増えたので,間は $49$ 個.数列の個数は $50$ 個より $\displaystyle S=(1+99)\times 50 \div 2=\boldsymbol{2500}$ (3) 数列を $\{a_{n}\}$ とおくと $a_{n}=77+(n-1)(-4)=-4n+81$ 初項から最後の正の項までを足し続けているときが和の最大なので,$a_{n}$ が正であるのは $a_{n}=77+(n-1)(-4)=-4n+81>0$ $\therefore \ n \leqq 20$ $a_{20}=1$ より (和の最大値) $\displaystyle =(77+1)\times 20 \div 2=\boldsymbol{780}$ ※ $S_{n}$ を出してから平方完成するよりも上の解き方が速いです. 練習問題練習1 等差数列 $\{a_{n}\}$ で第 $17$ 項が $132$,第 $29$ 項が $54$ のとき,この数列の一般項を求めよ. 練習2 等差数列 $\{a_{n}\}$ で第 $12$ 項が $69$,第 $20$ 項が $53$ のとき,この数列の和の最大値を求めよ.

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調和数列【参考】 4. 1 調和数列とは? 等差数列の一般項の求め方. 数列 $ {a_n} $ において,その逆数を項とする数列 $ \displaystyle \left\{ \frac{1}{a_n} \right\} $ が等差数列をなすとき,もとの数列 $ {a_n} $ を調和数列といいます。つまり $ \displaystyle \color{red}{ \frac{1}{a_{n+1}} – \frac{1}{a_n} = d} $ (一定) 【例】 $ \displaystyle 1, \ \frac{1}{3}, \ \frac{1}{5}, \ \frac{1}{7}, \ \cdots $ は調和数列。この数列の各項の逆数 $ 1, \ 3, \ 5, \ 7, \ \cdots $ は,初項1,公差2の等差数列であるから。 4. 2 調和数列の問題調和数列に関する問題の解説もしておきます。 $ \left\{ a_n \right\}: 30, \ 20, \ 15, \cdots $ が調和数列であるから, $ \displaystyle \left\{ \frac{1}{a_n} \right\}: \frac{1}{30}, \ \frac{1}{20}, \ \frac{1}{15}, \cdots $ は等差数列となる。 $ \displaystyle \left\{ \frac{1}{a_n} \right\} $ の初項は $ \displaystyle \frac{1}{30} $,公差は $ \displaystyle \frac{1}{20} – \frac{1}{30} = \frac{1}{60} $ であるから,一般項は $ \displaystyle \frac{1}{a_n} = \frac{1}{30} + (n-1) \cdot \frac{1}{60} = \frac{n+1}{60} $ したがって,数列 $ {a_n} $ の一般項は $ \displaystyle \color{red}{ a_n = \frac{60}{n+1} \cdots 【答】} $ 5. 等差数列まとめさいごに今回の内容をもう一度整理します。等差数列まとめ【等差数列の一般項】初項 $ a $,公差 $ d $ の等差数列 $ {a_n} $ の一般項は ( 第 $ n $ 項) =( 初項) +($ n $ -1) ×( 公差) 【等差数列の和の公式】初項 $ a $,公差 $ d $,末項 $ l $,項数 $ n $ の等差数列の和を $ S_n $ とすると $ \displaystyle \large{ \color{red}{ S_n = \frac{1}{2} n (a + l)}} $ $ \displaystyle \large{ \color{red}{ S_n = \frac{1}{2} n \left\{ 2a + (n-1) d \right\}}} $ 以上が等差数列の解説です。和の公式は,公式を丸暗記するというよりは,式の意味を理解することが重要です!

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4 等差数列の性質(等差中項) 数列 $ a, \ b, \ c $ が等差数列ならば $ b – a = c – b $ ゆえに $ 2b = a+c $ このとき,$ b $ を $ a $ と $ c $ の等差中項といいます。 $ \displaystyle b = \frac{a + c}{2} $ より,$ b $ は $ a $ と $ c $ の相加平均になります。 3. 等差数列の和次は等差数列の和について解説していきます。 3. 1 等差数列の和の公式等差数列の和の公式 3. 2 等差数列の和の公式の証明まずは具体的に「初項 1 ,公差2 ,項数10 の等差数列の和S 」を求めることを考えてみましょう。次のように,ますSを並べ,その下に和の順序を逆にしたものを並べます。そして辺々を足します。すると,「2S=20が10個分」となるので $ 2S = 20 \times 10 $ ∴ $ \displaystyle \color{red}{ S} = \frac{1}{2} \times(20 \times 10) \color{red}{ = 100} $ と求めることができました。順序を逆にしたものと足し合わせることで,和が同じ数字が項の数だけ出てくるので,数列の和を求めることができます! この考え方で,一般化して等差数列の和を求めてみましょう。初項 $ a $,末項 $ l $,項数 $ n $ の等差数列の和を $ S_n $ とすると右辺は,$ a + l $ を $ n $ 個加えたものなので $ 2 S_n = n (a+l) $ ∴ $ \displaystyle \color{red}{ S_n = \frac{1}{2} n (a + l)} \cdots ① $ また,$ l $ は第 $ n $ 項なので $ l = a + (n-1) d $ これを①に代入すると $ \displaystyle \color{red}{ S_n = \frac{1}{2} n \left\{ 2a + (n-1) d \right\}} $ が得られます。よって公式②は①を変形したものです。 3. 等差数列の一般項. 3 等差数列の和を求める問題それでは,公式を使って等差数列の和を求める問題にチャレンジしてみましょう。 (1) は初項・公差がわかっているので,公式①で一発です。 (2) は初項1,公差3,末項100とわかりますが, 項数がわかりません。まずは項数を求めてから,公式で和を求めます。 (1) 初項20,公差3,項数10より \displaystyle \color{red}{ S} & = \frac{1}{2} \cdot 10 \left\{ 2 \cdot 20 + (10-1) \cdot 3 \right\} \\ & \color{red}{ = 335 \cdots 【答】} (2) 初項1,公差3であるから,末項100が第 $ n $ 項であるとすると $ 1 + (n-1) \cdot 3 = 100 $ ∴ $ n = 34 $ よって,初項1,末項100,項数34の等差数列の和を求めると \displaystyle \color{red}{ S} & = \frac{1}{2} \cdot 34 (1 + 100) \\ & \color{red}{ = 1717 \cdots 【答】} 等差数列の和の公式の使い分け 4.

一般項の求め方例題を通して、一般項の求め方も学んでみましょう! 例題第 $15$ 項が $33$、第 $45$ 項が $153$ である等差数列の一般項を求めよ。等差数列の一般項は、初項 $a$ と公差 $d$ さえわかれば求められます。問題文に初項と公差が書かれていない場合は、自分で $a$, $d$ という文字をおいて計算していきましょう。この数列の初項を $a$、公差を $d$ とおくと、一般項 $a_n$ は以下のように書ける。 $a_n = a + (n − 1)d$ …(*) あとは、問題文にある項(第 $15$ 項と第 $45$ 項)を (*) の式で表して、連立方程式から $a$ と $d$ を求めます。 $a_{15} = 33$、$a_{45} = 153$ であるから、(*) より $\left\{\begin{array}{l}33 = a + 14d …①\\153 = a + 44d …②\end{array}\right. $ ② − ① より、 $120 = 30d$ $d = 4$ ① より $\begin{align}a &= 33 − 14d\\&= 33 − 14 \cdot 4\\&= 33 − 56\\&= − 23\end{align}$ 最後に、$a$ と $d$ の値を (*) に代入すれば一般項の完成です!

あとにして」なんて、子どもの言葉を遮断しないように。子どもがそう呼ぶからには、何かママに伝えたいことがあるのです。その用件を聞いてから「わかったよ。じゃあ、今、○○してるから、終わってからでもいい?」と、子どもに確認をとっても良いのではないでしょうか。時には「やだ! 待てない!」と言うかもしれません。そんなとき、毎回とは言いませんが、ちょっとその手を休めてお子さんの手を握る、そして話すこともいいですよね。ママの手の温もりから、お子さんはママの愛情をしっかり感じることでしょう。赤ちゃん返り対策……上の子とのスキンシップタイム赤ちゃんが寝ている間は、上の子とのスキンシップタイムにどんなに大きくなっても子どもは子ども。いつでも自分を見ていてほしいし、愛情もたっぷりほしいのです。そして、スキンシップも大切です。赤ちゃんが寝てるとき、本当は少し横になりたいですよね。でも、もうひとりの可愛い子がいたら、そうもいきません。その時間は絶好のスキンシップタイムです。お子さんは照れてしまうかもしれません。でも、手を握って話したり、時にはぎゅっと抱きしめて「あなたのこと、大好きよ」と言葉や態度で伝えていきましょう。子どもは照れながらも、すごく喜びますよ!

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「2年も頑張って育てたな~」って改めて感じるかも』『子どもたちがいろいろとできるようになってくると少しずつ楽になってくる。時間が解決してくれるから、あとは時の流れに身を任せるのが一番』『実家を頼れるなら1ヶ月くらい旦那さん置いて帰っちゃうのもあり!』投稿者さんは0歳と2歳の子どもをワンオペ育児中のため、育児そのものに疲れ切ってしまっている可能性も。旦那さんやベビーシッター、実家などに手を借りるなどして、リフレッシュが必要な状況にあるのではないでしょうか。また、上の子が下の子と同じくらいの月齢だった頃の写真や動画を見返したり上の子と2人きりの時間を作ることで、改めて上の子の可愛さを再確認できるかもしれません。下の子がまだ赤ちゃんなら上の子を優先すべし『旦那が休みの日は下の子とお留守番してもらって、上の子とでかけていたよ。寝かしつけも旦那が下の子、私が上の子だった』『私がそうだった。かわいそうなことをした。しっかり甘えさせてあげたらよかったよ。ほんとに後悔するよ』『うちも下の子が生まれたばかりのときは意識して上の子を抱き締めてた。叩きそうな手で抱き締めてあげて』『ウザいところが可愛いのよね! 赤ちゃん返りした上の子にイライラするママ。どうすればいい？ | ママスタセレクト. わが家では「ウザい=可愛い」だよ』同じように「上の子が可愛くない」と感じたことのあるママからさまざまな意見が寄せられた今回の投稿。経験者からは総じて「上の子を優先したほうがいい」というアドバイスが寄せられていました。上の子が成長してから「かわいそうなことをした」と後悔しているママからのコメントは、投稿者さんと同じ0歳と2歳を育てる筆者としては身の引き締まる思いがしました。どんなに「ウザい」と感じだとしても、上の子はまだまだ幼い2歳。ママにたくさん抱きしめられたり話を聞いてもらったりしたい年頃です。投稿者さんも上手にリフレッシュをしながら自分を追い詰めて育児を頑張りすぎることなく、今この瞬間のわが子を思いっきり可愛がってあげてほしいですね。文・秋山悠紀編集・木村亜希イラスト・リコロコ関連記事 ※ 2人目の赤ちゃんを生んだら、上の子にイライラ!こんな私はママ失格でしょうか? みなさんは2人目の子どもが生まれたとき、育児が「大変だな」と思ったことはありますか? 子どもが1人だったときよりも、大変になることも楽になることもあるかもしれませんね。 2人目の赤ちゃんを生んだ... ※ 外に遊びに行きたい上の子をどうする?産後間もないママが悩むきょうだいの子育て 2人以上のお子さんを育てているママはいますか?

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それは、その子が生まれたときの気持ちです。ぎゅっと抱いたら壊れちゃうんじゃないかしらと心配になるほど、かわいかった赤ちゃんのとき。ひとつひとつの成長が、本当に嬉しく感じたのではないでしょうか。それは今も同じですよね。お子さんの成長が嬉しくない……そんなことはないでしょう。だからといって、成長=赤ちゃんのお兄ちゃん(お姉ちゃん)ではありません。その子、その子の成長なのです。その子自身を見てあげてくださいね。ママはたくさんのパワーと愛情が必要かもしれません。でも、そのパワーと愛情は、きっと子どもたちからたくさんもらって、充電できると思います。たくさんの愛情の充電と放電をしてくださいね! “2人目育児”の悩みを解決！赤ちゃん返り、上の子優先「私はこう乗り越えた」 | 子育て｜VERY［ヴェリィ］公式サイト｜光文社. 【関連記事】生まれ順による兄弟姉妹の差…各々の不満と対応法妊娠中から「赤ちゃん返り」ってあるの? 上の子が可愛くない!! ストレス!! きょうだい愛情格差の対処法「上の子可愛くない」甘え下手な上の子の心理と対応法抱き癖が付く?赤ちゃんが抱っこしないと泣く理由が分からないママへ

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ママ1人の身でお子さん1人1人にかまってあげるのは大変ですよね。ときにはお子さんに寂しい思いをさせてしまうこともあるでしょう。ママたちの掲示板、ママスタ... ※ 兄弟姉妹・一人っ子に関する記事一覧参考トピ (by ママスタコミュニティ ) 上の子をウザいと思ってしまう

上の子の「赤ちゃん返り」は弟・妹が生まれると見られる赤ちゃん返りで急に赤ちゃんのようになってしまう上の子産みの苦しみと言いますが、赤ちゃんはその苦しみをも忘れさせてしまうほど、可愛くて愛しい存在ですよね。そして、いつしか痛みを忘れ「もう一人欲しい!」と思ったりもします。「子どもを何人も育てるのって大変かしら?」「2人(以上)に平等に愛を与えられるかしら?」などの不安が出てくるママさんもいるでしょう。大丈夫ですよ。自分のお腹で育てた子は、何人でもみんなかわいいものです。とはいえ、赤ちゃんが生まれると、ついそちらに目がいってしまいがちです。上のお子さんは、つい先日まで「ひとりっこ」だったのが、急に「もう、お兄ちゃんなんだから」「お姉ちゃんでしょ」と言われ、戸惑ったりします。下の子が生まれたからといって、すぐにお兄ちゃん・お姉ちゃんになれるわけではありません。まだまだママの愛情を欲しいし、独占したいのです。そんな気持ちが「赤ちゃん返り」として現れたりします。お子さんが1人という方も、兄弟姉妹が欲しいなと思っていたら、ぜひ上の子との親子関係見直しのために「赤ちゃん返り」について知っておきましょう。お子さんが複数いらっしゃる方は、こんなことに思い当たりませんか? 一度お子さんとの関係を見直してみてください。赤ちゃん返りの症状は、夜泣きやおもらしが増えるなど赤ちゃん返りとは、一体何でしょう? その名の通り「赤ちゃんに返る」ことです。赤ちゃん返りの症状として表れるのは例えば…… おもらしが増える(オムツをしたがる) 夜泣きする赤ちゃん言葉を話すようになる赤ちゃんに対して乱暴をするなにかイライラしてるように見えるどもるこのようなことが挙げられます。こういった赤ちゃん返りの症状は、子どもの「ママ! ぼく(わたし)を見て!」という心の叫びなのです。これを心の叫びと分からず、「もうお兄ちゃん(お姉ちゃん)でしょ!」と、ママが言ったら……子どもはどう感じるでしょう? 「お兄ちゃん(お姉ちゃん)なんかになりたくない!」そんな風に思ってしまうかもしれませんよね。赤ちゃん返りへの対応、まず上の子の声に耳をよく傾けること赤ちゃん返りはママが赤ちゃんに取られてしまうんじゃないかという不安が原因ママは子どもが増えたら、例えば「愛情を半分こ」なんて思うかもしれません。でも、子どもから見たら、いつでもママはひとり。ママからたくさんの愛情を……半分こではなく、全部欲しいのです。こういった上の子の気持ちへの対応は、どうしていったら良いのでしょう。答えは簡単です。子どもの声・言葉・行動に耳や目を傾けることです。赤ちゃんのお世話で忙しくても「ママ~!」と呼ばれたら、必ず「な~に?」と返事をしてあげてください。決して「今、○○してるでしょ!

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