コーシー シュワルツ の 不等式 使い方
問 $n$ 個の実数 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ が $x_1+x_2+\cdots+x_n=1$ を満たすとき,次の不等式を示せ. $$x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2 \ge \frac{1}{n}$$ $$(x_1\cdot 1+x_2 \cdot 1+\cdots+x_n \cdot 1)^2 \le (x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)n$$ これと,$x_1+x_2+\cdots+x_n=1$ より示される. コーシー・シュワルツの不等式とその利用 | 数学のカ. 一般の場合の証明 一般のコーシーシュワルツの不等式の証明は,初見の方は狐につままれたような気分になるかもしれません.非常にエレガントで唐突な方法で,その上中学校で習う程度の知識しか使いません.知らなければ思いつくことは難しいと思いますが,一見の価値があります. 証明: $t$ を実数とする.このとき $$(a_1t-b_1)^2+(a_2t-b_2)^2+\cdots+(a_nt-b_n)^2 \ge 0$$ が成り立つ.左辺を展開すると, $$(a_1^2+\cdots+a_n^2)t^2-2(a_1b_1+\cdots+a_nb_n)t+(b_1^2+\cdots+b_n^2) \ge 0$$ となる.左辺の式を $t$ についての $2$ 次式とみると,$(左辺) \ge 0 $ であることから,その判別式 $D$ は $0$ 以下でなければならない. したがって, $$\frac{D}{4}=(a_1b_1+\cdots+a_nb_n)^2-(a_1^2+\cdots+a_n^2)(b_1^2+\cdots+b_n^2) \le 0$$ ゆえに, $$ (a_1b_1+\cdots+a_nb_n)^2 \le (a_1^2+\cdots+a_n^2)(b_1^2+\cdots+b_n^2)$$ が成り立つ. 等号成立は最初の不等号が等号になるときである.すなわち, $$(a_1t-b_1)^2+(a_2t-b_2)^2+\cdots+(a_nt-b_n)^2 = 0$$ となるような $t$ を選んだときで,これは と同値である.したがって,等号成立条件は,ある実数 $t$ に対して, となることである.
- 【コーシー・シュワルツの不等式】を４通りの方法で証明「内積を使って覚え、判別式の証明で感動を味わう」｜あ、いいね！
- コーシー・シュワルツの不等式とその利用 | 数学のカ
- コーシー・シュワルツの不等式のその他の証明～ラグランジュの恒等式 | 数学のカ
- コーシー・シュワルツ不等式【数学ⅡB・式と証明】 - YouTube
【コーシー・シュワルツの不等式】を４通りの方法で証明「内積を使って覚え、判別式の証明で感動を味わう」｜あ、いいね！
2019/4/30 2, 462 ビュー 見て頂いてありがとうございます. 見てもらうために作成しておりますので,どんどん見てください. ★の数は優先度です.★→★★→★★★ の順に取り組みましょう. 2323 ポイント集をまとめて見たい場合 点線より下側の問題の解説を見たい場合 は 有料版(電子書籍) になります. 2000番台が全て入って (¥0もしくは¥698) と,極力負担を少なくしています. こちら からどうぞ.
コーシー・シュワルツの不等式とその利用 | 数学のカ
覚えなくていい「ベクトル」2(内積) - 算数は得意なのに数学が苦手なひとのためのブログ のつづきです。 コーシーシュワルツの不等式ってあまり聞きなれないかもしれないけど、当たり前の式だからなんてことないです。 コーシーシュワルツの不等式は または っていう複雑な式だけど 簡単にいえば, というだけ。 内積 は長さの積以下であるというのは自明です。簡単ですね。
コーシー・シュワルツの不等式のその他の証明～ラグランジュの恒等式 | 数学のカ
相加相乗平均の不等式の次にメジャーな不等式であるコーシー・シュワルツの不等式の証明と典型的な例題を紹介します. コーシー・シュワルツの不等式 コーシー・シュワルツの不等式: 実数 $a_1, a_2, \cdots, a_n, b_1, b_2, \cdots, b_n$ について次の不等式が成り立つ. 【コーシー・シュワルツの不等式】を４通りの方法で証明「内積を使って覚え、判別式の証明で感動を味わう」｜あ、いいね！. $$ (a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n)^2 \le (a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\cdots+b_n^2)$$ 等号成立条件はある実数 $t$ に対して, $$a_1t-b_1=a_2t-b_2=\cdots=a_nt-b_n=0$$ となることである. $a_1, a_2, \cdots, a_n, b_1, b_2, \cdots, b_n$ は実数であれば,正でも負でも $0$ でもなんでもよいです. 等号成立条件が少々わかりにくいと思います.もっとわかりやすくいえば,$a_1, a_2, \cdots, a_n$ と $b_1, b_2, \cdots, b_n$ の比が等しいとき,すなわち, $$\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\cdots=\frac{a_n}{b_n}$$ が成り立つとき,等号が成立するということです.ただし,$b_1, b_2, \cdots, b_n$ のいずれかが $0$ である可能性もあるので,その場合も考慮に入れて厳密に述べるためには上のような言い回しになります. 簡単な場合の証明 手始めに,$n=2, 3$ の場合について,その証明を考えてみましょう. $n=2$ のとき 不等式は,$(a_1b_1+a_2b_2)^2 \le (a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)$ となります.これを示すには,単に (右辺)ー(左辺) を考えればよく, $$(a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)-(a_1b_1+a_2b_2)^2$$ $$=(a_1^2b_1^2+a_1^2b_2^2+a_2^2b_1^2+a_2^2b_2^2)-(a_1^2b_1^2+2a_1a_2b_1b_2+a_2^2b_2^2)$$ $$=a_1^2b_2^2-2a_1a_2b_1b_2+a_2^2b_1^2$$ $$=(a_1b_2-a_2b_1)^2 \ge 0$$ とすれば示せます.
コーシー・シュワルツ不等式【数学Ⅱb・式と証明】 - Youtube
コーシー・シュワルツの不等式は、大学入試でもよく取り上げられる重要な不等式 です。 今回は\( n=2 \) の場合のコーシー・シュワルツの不等式を、4通りの方法で証明をしていきます。 コーシーシュワルツの不等式の使い方については、以下の記事に詳しく解説しました。 コーシーシュワルツの不等式の使い方を分かりやすく解説! この記事では、数学検定1級を所持している管理人が、コーシーシュワルツの不等式の使い方について分かりやすく... コーシ―・シュワルツの不等式 \[ {\displaystyle(\sum_{i=1}^n a_i^2)}{\displaystyle(\sum_{i=1}^n b_i^2)}\geq{\displaystyle(\sum_{i=1}^n a_ib_i)^2} \] (\( n=2 \) の場合) (a^2+b^2)(x^2+y^2)≧(ax+by)^2%&(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)\geq(ax+by+cz)^2 \] しっかりと覚えて、入試で使いこなしたい不等式なのですが、この不等式、ちょっと覚えにくいですよね。 実は、 コーシー・シュワルツの不等式の本質は内積と同じです。 したがって、 内積を使ってこの不等式を導く方法を身につけることで、確実に覚えやすくなるはずです。 また、この不等式を 2次方程式の判別式 で証明する方法もあります。私が初めてこの証明方法を知ったときは 感動しました! とても興味深い証明方法です。 様々な導き方を身につけて数学の世界が広げていきましょう!
$\eqref{kosishuwarutunohutousikisaisyouti2}$の等号が成り立つのは x:y:z=1:2:3 のときである. $x = k,y = 2k,z = 3k$ とおき, $ x^2 + y^2 + z^2 = 1$ に代入すると $\blacktriangleleft$ 比例式 の知識を使った. &k^2+(2k)^2+(3k)^2=1\\ \Leftrightarrow~&k=\pm\dfrac{\sqrt{14}}{14} このとき,等号が成り立つ. 以上より,最大値 $f\left(\dfrac{\sqrt{14}}{14}, ~\dfrac{2\sqrt{14}}{14}, ~\dfrac{3\sqrt{14}}{14}\right)$ $=\boldsymbol{\sqrt{14}}$ , 最小値 $f\left(-\dfrac{\sqrt{14}}{14}, ~-\dfrac{2\sqrt{14}}{14}, ~-\dfrac{3\sqrt{14}}{14}\right)$ $=\boldsymbol{-\sqrt{14}}$ となる. 吹き出しコーシー・シュワルツの不等式とは何か コーシー・シュワルツの不等式 は\FTEXT 数学Bで学習する ベクトルの内積 の知識を用いて \left(\vec{m}\cdot\vec{n}\right)^2\leqq|\vec{m}|^2|\vec{n}|^2 と表すことができる. もし,ベクトルを学習済みであったら,$\vec{m}=\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix},\vec{n}=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$を上の式に代入して確認してみよう.