行列式の値の求め方を超わかりやすく解説する – 「なんとなくわかる」大学の数学・物理・情報, ペットの死 立ち直れない
RR&=\begin{bmatrix}-1/\sqrt 2&0&1/\sqrt 2\\1/\sqrt 6&-2/\sqrt 6&1/\sqrt 6\\1/\sqrt 3&1/\sqrt 3&1/\sqrt 3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-1/\sqrt 2&1/\sqrt 6&1/\sqrt 3\\0&-2/\sqrt 6&1/\sqrt 3\\1/\sqrt 2&1/\sqrt 6&1/\sqrt 3\end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix}1/2+1/2&-1/\sqrt{12}+1/\sqrt{12}&-1/\sqrt{6}+1/\sqrt{6}\\-1/\sqrt{12}+1/\sqrt{12}&1/6+4/6+1/6&1/\sqrt{18}-2/\sqrt{18}+1/\sqrt{18}\\-1/\sqrt 6+1/\sqrt 6&1/\sqrt{18}-2/\sqrt{18}+1/\sqrt{18}&1/\sqrt 3+1/\sqrt 3+1/\sqrt 3\end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix} で、直交行列の条件 {}^t\! R=R^{-1} を満たしていることが分かる。 この を使って、 は R^{-1}AR=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&4\end{bmatrix} の形に直交化される。 実対称行列の対角化の応用 † 実数係数の2次形式を実対称行列で表す † 変数 x_1, x_2, \dots, x_n の2次形式とは、 \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_{ij}x_ix_j の形の、2次の同次多項式である。 例: x の2次形式の一般形: ax^2 x, y ax^2+by^2+cxy x, y, z ax^2+by^2+cz^2+dxy+eyz+fzx ここで一般に、 \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_{ij}x_ix_j= \begin{bmatrix}x_1&x_2&\cdots&x_n\end{bmatrix} \begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&&\vdots\\\vdots&&\ddots&\vdots\\a_{b1}&\cdots&\cdots&a_{nn}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{bmatrix}={}^t\!
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\; \cdots \; (6) \end{eqnarray} 式(6) を入力電圧 $v_{in}$, 入力電流 $i_{in}$ について解くと, \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array} \, v_{in} &=& \, \cosh{ \gamma L} \, v_{out} \, + \, z_0 \, \sinh{ \gamma L} \, i_{out} \\ \, i_{in} &=& \, z_0 ^{-1} \, \sinh{ \gamma L} \, v_{out} \, + \, \cosh{ \gamma L} \, i_{out} \end{array} \right. 行列の対角化 条件. \; \cdots \; (7) \end{eqnarray} これを行列の形で表示すると, 以下のようになります. \begin{eqnarray} \left[ \begin{array} \, v_{in} \\ \, i_{in} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} \, \cosh{ \gamma L} & \, z_0 \, \sinh{ \gamma L} \\ \, z_0 ^{-1} \, \sinh{ \gamma L} & \, \cosh{ \gamma L} \end{array} \right] \, \left[ \begin{array} \, v_{out} \\ \, i_{out} \end{array} \right] \; \cdots \; (8) \end{eqnarray} 式(8) を 式(5) と見比べて頂ければ分かる通り, $v_{in}$, $i_{in}$ が入力端の電圧と電流, $v_{out}$, $i_{out}$ が出力端の電圧, 電流と考えれば, 式(8) の $2 \times 2$ 行列は F行列そのものです. つまり、長さ $L$ の分布定数回路のF行列は, $$ F= \left[ \begin{array}{cc} \, \cosh{ \gamma L} & \, z_0 \, \sinh{ \gamma L} \\ \, z_0 ^{-1} \, \sinh{ \gamma L} & \, \cosh{ \gamma L} \end{array} \right] \; \cdots \; (9) $$ となります.
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これが、 特性方程式 なるものが突然出現してくる理由である。 最終的には、$\langle v_k, y\rangle$の線形結合だけで$y_0$を表現できるかという問題に帰着されるが、それはまさに$A$が対角化可能であるかどうかを判定していることになっている。 固有 多項式 が重解を持たない場合は問題なし。重解を保つ場合は、$\langle v_k, y\rangle$が全て一次独立であることの保証がないため、$y_0$を表現できるか問題が発生する。もし対角化できない場合は ジョルダン 標準形というものを使えばOK。 特性方程式 が重解をもつ場合は$(C_1+C_2 t)e^{\lambda t}$みたいなのが出現してくるが、それは ジョルダン 標準形が基になっている。 余談だが、一般の$n$次正方行列$A$に対して、$\frac{d}{dt}y=Ay$という行列 微分方程式 の解は $$y=\exp{(At)}y_0$$ と書くことができる。ここで、 $y_0$は任意の$n$次元ベクトルを取ることができる。 $\exp{(At)}$は行列指数関数というものである。定義は以下の通り $$\exp{(At)}:=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{t^n}{n! }A^n$$ ( まあ、expの マクローリン展開 を知っていれば自然な定義に見えるよね。) これの何が面白いかというと、これは一次元についての 微分方程式 $$\frac{dx}{dt}=ax, \quad x=e^{at}x_0$$ という解と同じようなノリで書けることである。ただし行列指数関数を求めるのは 固有値 と 固有ベクトル を求めるよりもだるい(個人の感想です)
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4. 参考文献 [ 編集] 和書 [ 編集] 斎藤, 正彦『 線型代数入門 』東京大学出版会、1966年、初版。 ISBN 978-4-13-062001-7 。 佐武 一郎『線型代数学』裳華房、1974年。 新井 朝雄『ヒルベルト空間と量子力学』共立出版〈共立講座21世紀の数学〉、1997年。 洋書 [ 編集] Strang, G. (2003). Introduction to linear algebra. Cambridge (MA): Wellesley-Cambridge Press. Franklin, Joel N. (1968). Matrix Theory. en:Dover Publications. ISBN 978-0-486-41179-8. Golub, Gene H. ; Van Loan, Charles F. (1996), Matrix Computations (3rd ed. ), Baltimore: Johns Hopkins University Press, ISBN 978-0-8018-5414-9 Horn, Roger A. Lorentz変換のLie代数 – 物理とはずがたり. ; Johnson, Charles R. (1985). Matrix Analysis. en:Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-38632-6. Horn, Roger A. (1991). Topics in Matrix Analysis. ISBN 978-0-521-46713-1. Nering, Evar D. (1970), Linear Algebra and Matrix Theory (2nd ed. ), New York: Wiley, LCCN 76091646 関連項目 [ 編集] 線型写像 対角行列 固有値 ジョルダン標準形 ランチョス法
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求める電子回路のインピーダンスは $Z_{DUT} = – v_{out} / i_{out}$ なので, $$ Z_{DUT} = \frac{\cosh{ \gamma L} \, v_{in} \, – \, z_{0} \, \sinh{ \gamma L} \, i_{in}}{ z_{0} ^{-1} \, \sinh{ \gamma L} \, v_{in} \, – \, \cosh{ \gamma L} \, i_{in}} \; \cdots \; (12) $$ 式(12) より, 測定周波数が小さいとき($ \omega \to 0 $ のとき, 則ち $ \gamma L << 1 $ のとき)には, $\cosh{\gamma L} \to 1$, $\sinh{\gamma L} \to 0$ とそれぞれ漸近します. よって, $Z_{DUT} = – v_{in} / i_{in} $ となり, 「電源で測定した電流で電源電圧を割った値」がそのまま電子部品のインピーダンスであると見なすことができます. 一方, 周波数が大きくなれば, 上記のような近似はできなくなり, 電源で測定したインピーダンスから実際のインピーダンスを決定するための補正が必要となることが分かります. 高周波で測定を行うときに気を付けなければいけない理由はここにあり, いつでも電源で測定した値を鵜呑みにしてよいわけではありません. 高周波測定を行う際にはケーブルの長さや, 試料の凡そのインピーダンスを把握しておく必要があります. まとめ F行列は回路の縦続接続を扱うときに大変重宝します. 今回は扱いませんでしたが, 分布定数回路のF行列を使うことで, 縦続接続の計算はとても簡単になります. また, F行列は回路網を表現するための「道具」に過ぎません. 行列の対角化ツール. つまり, 存在を知っているだけではほとんど意味がありません. それを使って初めて意味が生じるものです. 便利な道具として自在に扱えるよう, 一度手計算をしてみることを強くお勧めします.
\bm xA\bm x と表せることに注意しよう。 \begin{bmatrix}x&y\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x&y\end{bmatrix}\begin{bmatrix}ax+by\\cx+dy\end{bmatrix}=ax^2+bxy+cyx+dy^2 しかも、例えば a_{12}x_1x_2+a_{21}x_2x_1=(a_{12}+a_{21})x_1x_2) のように、 a_{12}+a_{21} の値が変わらない限り、 a_{12} a_{21} を変化させても 式の値は変化しない。したがって、任意の2次形式を a_{ij}=a_{ji} すなわち対称行列 を用いて {}^t\! \bm xA\bm x の形に表せることになる。 ax^2+by^2+cz^2+dxy+eyz+fzx= \begin{bmatrix}x&y&z\end{bmatrix} \begin{bmatrix}a&d/2&f/2\\d/2&b&e/2\\f/2&e/2&c\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix} 2次形式の標準形 † 上記の は実対称行列であるから、適当な直交行列 によって R^{-1}AR={}^t\! RAR=\begin{bmatrix}\lambda_1\\&\lambda_2\\&&\ddots\\&&&\lambda_n\end{bmatrix} のように対角化される。この式に {}^t\! \bm y \bm y を掛ければ、 {}^t\! \bm y{}^t\! RAR\bm y={}^t\! (R\bm y)A(R\bm y)={}^t\! 行列の対角化 計算サイト. \bm y\begin{bmatrix}\lambda_1\\&\lambda_2\\&&\ddots\\&&&\lambda_n\end{bmatrix}\bm y=\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+\dots+\lambda_ny_n^2 そこで、 を \bm x=R\bm y となるように取れば、 {}^t\! \bm xA\bm x={}^t\! (R\bm y)A(R\bm y)=\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+\dots+\lambda_ny_n^2 \begin{cases} x_1=r_{11}y_1+r_{12}y_2+\dots+r_{1n}y_n\\ x_2=r_{21}y_1+r_{22}y_2+\dots+r_{2n}y_n\\ \vdots\\ x_n=r_{n1}y_1+r_{n2}y_2+\dots+r_{nn}y_n\\ \end{cases} なる変数変換で、2次形式を平方完成できることが分かる。 {}^t\!
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ペットの死、会社を休む時に周囲に配慮することは？ | 仙台市・宮城県の訪問ペット火葬【ふくふくやま】
07. 27 いいなと思ったらシェア
「ハムスターが死んだので仕事を休みたいと言ったら鼻で笑われてしまった。」 「金魚でペットロス休暇を取るのはダメですか?」 多種多様なペットを飼う人が増えている現在、ペットが亡くなったことを理由に会社を休む際、どのようなペットなら理由になるのか、その線引きに悩む声が聞こえてきます。 飼っている人にとっては、大きさ・動物種に関わらず命の重さは一緒で大切な家族ですが、犬や猫以外の場合はなかなか周囲からの理解が得られないこともあります。 実際、私が知るペットロス休暇のある会社でも、会社規定に明示はしてありませんが、「ペットロス休暇の対象動物は、3年以上一緒に暮らした犬か猫」という暗黙の決まりになっていました。 極端な例ですが、例えばセミを大量に庭で飼っているという人がいて、夏の終わりには30匹が死んだので30日間ペットロス休暇を取る、というのは無理があるのでしょう。 では、3歳という若齢で亡くなってしまった猫では休暇が取れて、15年生きたインコでは休暇が取れないのか、と疑問も残ります。 ペットを愛する人にとっては、大きさも、種類も、年齢も関係なく、ペットは家族なのです。 大切なのは、家族にとってどのくらい大切な存在なのか。「嘘も方便」と推進する訳ではありませんが、自分にとって大切なペットの旅立ちに立ち会いたいと思うのであれば、うまい立ち回りも必要なのかもしれません。