二 次 遅れ 系 伝達 関数: 駿台 中学部 夏期講習
みなさん,こんにちは おかしょです. この記事では2次遅れ系の伝達関数を逆ラプラス変換する方法を解説します. そして,求められた微分方程式を解いてどのような応答をするのかを確かめてみたいと思います. この記事を読むと以下のようなことがわかる・できるようになります. 逆ラプラス変換のやり方 2次遅れ系の微分方程式 微分方程式の解き方 この記事を読む前に この記事では微分方程式を解きますが,微分方程式の解き方については以下の記事の方が詳細に解説しています. 微分方程式の解き方を知らない方は,以下の記事を先に読んだ方がこの記事の内容を理解できるかもしれないので以下のリンクから読んでください. 2次遅れ系の伝達関数とは 一般的な2次遅れ系の伝達関数は以下のような形をしています. \[ G(s) = \frac{\omega^{2}}{s^{2}+2\zeta \omega s +\omega^{2}} \tag{1} \] 上式において \(\zeta\)は減衰率,\(\omega\)は固有角振動数 を意味しています. これらの値はシステムによってきまり,入力に対する応答を決定します. 特徴的な応答として, \(\zeta\)が1より大きい時を過減衰,1の時を臨界減衰,1未満0以上の時を不足減衰 と言います. 不足減衰の時のみ,応答が振動的になる特徴があります. また,減衰率は負の値をとることはありません. 2次遅れ系の伝達関数の逆ラプラス変換 それでは,2次遅れ系の説明はこの辺にして 逆ラプラス変換をする方法を解説していきます. そもそも,伝達関数はシステムの入力と出力の比を表します. 二次遅れ系 伝達関数 共振周波数. 入力と出力のラプラス変換を\(U(s)\),\(Y(s)\)とします. すると,先程の2次遅れ系の伝達関数は以下のように書きなおせます. \[ \frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{\omega^{2}}{s^{2}+2\zeta \omega s +\omega^{2}} \tag{2} \] 逆ラプラス変換をするための準備として,まず左辺の分母を取り払います. \[ Y(s) = \frac{\omega^{2}}{s^{2}+2\zeta \omega s +\omega^{2}} \cdot U(s) \tag{3} \] 同じように,右辺の分母も取り払います. \[ (s^{2}+2\zeta \omega s +\omega^{2}) \cdot Y(s) = \omega^{2} \cdot U(s) \tag{4} \] これで,両辺の分母を取り払うことができたので かっこの中身を展開します.
二次遅れ系 伝達関数
二次遅れ要素 よみ にじおくれようそ 伝達関数表示が図のような制御要素。二次遅れ要素の伝達関数は、分母が $$s$$ に関して二次式の表現となる。 $$K$$ は ゲイン定数 、 $$\zeta$$ は 減衰係数 、 $$\omega_n$$ は 固有振動数 (固有角周波数)と呼ばれ、伝達要素の特徴を示す重要な定数である。二次遅れ要素は、信号の周波数成分が高くなるほど、位相を遅れさせる特性を持っている。位相の変化は、 0° から- 180° の範囲である。 二次振動要素とも呼ばれる。 他の用語を検索する カテゴリーから探す
二次遅れ系 伝達関数 求め方
※高次システムの詳細はこちらのページで解説していますので、合わせてご覧ください。 以上、伝達関数の基本要素とその具体例でした! このページのまとめ 伝達関数の基本は、1次遅れ要素・2次遅れ要素・積分要素・比例要素 上記要素を理解していれば、より複雑なシステムもこれらの組み合わせで対応できる!
\[ Y(s)s^{2}+2\zeta \omega Y(s) s +\omega^{2} Y(s) = \omega^{2} U(s) \tag{5} \] ここまでが,逆ラプラス変換をするための準備です. 準備が完了したら,逆ラプラス変換をします. \(s\)を逆ラプラス変換すると1階微分,\(s^{2}\)を逆ラプラス変換すると2階微分を意味します. つまり,先程の式を逆ラプラス変換すると以下のようになります. \[ \ddot{y}(t)+2\zeta \omega \dot{y}(t)+\omega^{2} y(t) = \omega^{2} u(t) \tag{6} \] ここで,\(u(t)\)と\(y(t)\)は\(U(s)\)と\(Y(s)\)の逆ラプラス変換を表します. この式を\(\ddot{y}(t)\)について解きます. \[ \ddot{y}(t) = -2\zeta \omega \dot{y}(t)-\omega^{2} y(t) + \omega^{2} u(t) \tag{7} \] 以上で,2次遅れ系の伝達関数の逆ラプラス変換は完了となります. 2次遅れ系の微分方程式を解く 微分方程式を解くうえで,入力項は制御器によって異なってくるので,今回は無視することにします. つまり,今回解く微分方程式は以下になります. 2次遅れ系の伝達関数を逆ラプラス変換して，求められた微分方程式を解く | 理系大学院生の知識の森. \[ \ddot{y}(t) = -2\zeta \omega \dot{y}(t)-\omega^{2} y(t) \tag{8} \] この微分方程式を解くために,解を以下のように置きます. \[ y(t) = e^{\lambda t} \tag{9} \] これを微分方程式に代入します. \[ \begin{eqnarray} \ddot{y}(t) &=& -2\zeta \omega \dot{y}(t)-\omega^{2} y(t)\\ \lambda^{2} e^{\lambda t} &=& -2\zeta \omega \lambda e^{\lambda t}-\omega^{2} e^{\lambda t}\\ (\lambda^{2}+2\zeta \omega \lambda+\omega^{2}) e^{\lambda t} &=& 0 \tag{10} \end{eqnarray} \] これを\(\lambda\)について解くと以下のようになります.
8月のお茶の水校大学受験コースの受付時間は、下記の通りです。 ●8/2(月)~8/28(土) 9:00~17:00 ●8/30(月)・8/31(火) 13:30~20:30 ※8月中の 日曜日 は休館 とさせていただきます。 駿台 中学部・高校部 お茶の水校大学受験コース TEL:03-5259-3140 FAX: 03-5259-3501 夏期講習 7 / 22 (木) 開講! 予習必須の講座もございます。お申込みはお早めに!
中学入試対策｜帰国生・夏期講習｜小中高・帰国生専門コース｜駿台国際教育センター
国内の小中学校に在籍している方に加え、 今夏に一時帰国された方でも参加が可能な夏期講習を 少人数制クラス授業でご提供する予定です。 (詳細については改めてHPにてお知らせします) 夏期講習概要 【対象学年】 小6、中3 【指導教科】 国語、算数・数学、英語 各1コマ120分 【実施期間・講習内容】 ・Ⅰターム:7月 27日(火)~ 8月1日(日)6日間 小6または中3の学習内容の総まとめとなります。 ・Ⅱターム:8月 3日(火)~ 8月8日(日・祝)6日間 入試における頻出問題を基礎から標準レベルで対策します。 ・Ⅲターム:8月10日(火)~8月15日(日) 6日間 入試における頻出問題を標準から応用レベルで対策します。 ・Ⅳターム:8月17日(火)~8月22日(日)6日間 入試レベルの問題を実戦演習形式で対策します。 ※ 学校別の対策は秋以降に実施する予定です。 ※ 個別指導は全期間受け付けております。 8月24日(火)~8月27日(金)はクラス授業は行わず、 個別指導を受け付けております。 ※ 通常授業は8月28日(土)より再開いたします。
※フォームでお問い合わせの際は「ご相談(お問い合わせ)」を選択してください。 渋谷校 校舎ニュース 住所 〒150-0031 東京都渋谷区桜丘町15-14 5F 交通アクセス ・JR線・京王井の頭線・東急各線・東京メトロ各線渋谷駅より徒歩4分 駿台中学部・高校部渋谷校は フジビル40の5階です。 学習相談やお申し込みは こちらのカウンターで承ります。 明るい教室で、ベテランの先生が授業します。 自習室も校舎の開いている時なら いつでも利用できます。 駿台中学部TOP | 資料請求・お問い合わせ ▲ Page TOP